प्रोबबिलिटी (प्रायिकता) नोट्स

प्रोबबिलिटी (प्रायिकता)

याद रखने योग्य बिंदु:

(1) यदि प्रोबबिलिटी का कोई मान 1 से अधिक नहीं है
O £ P (E) £ 1
(2)प्रोबबिलिटी के नियम
P (E) = n(E) / n(S)
जहां – P(E) = एक घटना की प्रोबबिलिटी है
n(E) = आवश्यक घटनाओं की कुल संख्या
n(S) – संभावित घटनाओं की कुल संख्या


प्रोबबिलिटी को 4 भागों में विभाजित किया जाता है
1. सिक्के आधारित समस्याएं
2. पासा आधारित समस्याएं
3. गेंद आधारित समस्याएं
4. पत्ते आधारित समस्याएं

1.सिक्के आधारित समस्याएं:
एकल-सिक्का
1. यदि एक सिक्के को अज्ञात रूप से उछाला जाए तो प्रोबबिलिटी ज्ञात कीजिये-
i. हेड आने की संभावना  
ii.टेल आने की संभावना  

1.एक सिक्के को उछालने पर दो घटनाएं बनती हैं  
{H, T} – दो घटनाएं
P (E) = n(E) / n(S)  

1.P (E) =1/2
एक टेल आने की संभावना  

2.½-शोर्ट ट्रिक

II.दोहरे सिक्के
(1) दो सिक्कों को अज्ञात रूप से उछाला जाए तो उनकी प्रोबबिलिटी ज्ञात करो
(i) एक हेड आने की संभावना

(2) कम से कम एक हेड आने की संभावना
(3) दोनों हेड आने की संभावना bath are head are getting

हल:
4 घटनाओं हो सकती हैं
1. घटनाएं – {HT, TH, HH, TT}
1. 2\4 = 1\2
2. कम से कम एक हेड:
घटनाएं हो सकती हैं- {HT, TH, HH}
Þ 3/4
3. दोनों हेड हैं
3. {HH}
Þ1/4

घटनाओं की संख्या– शोर्ट ट्रिक-2n
यदि n – सिक्कों की संख्या है

2.पासा आधारित समस्याएं:
एक पासा:
1. यदि एक पासा को अज्ञात रूप से उछाला जाए तो सम संख्याएं आने की संभानाओं को ज्ञात कीजिये
घटनाएं: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
घटनाएं : {2, 4, 6}
3/6 = 1/2 Þ शोर्ट ट्रिक  

2.दोहरे उछाले गए पासे
2. यदि दो पासों को अज्ञात रूप से उछाला जाए तो दोनों पासों के मुख पर आने वाली संख्याओं का योग 9 होगा, आने वाली संभावना ज्ञात कीजिये|
कुल संभावनाएं
1,1, 1,2………………..1,6
2,1,………………………2,6
3,1,……………………….3,6
4,1,…………………………4,6
5,1,………………………….5,6
6,1…………………………..6,6

दिए गए प्रश्नों की संभावनाएं:
(5, 5) (6, 4) (4, 6) (6, 5) (5, 6) (6, 6)
इस प्रकार कुल आवश्यक घटनाओं की संख्या- 6
संभावित घटनाओं की कुल संख्या– 36
अतः प्रोबबिलिटी– 6/36 = 1/6

गेंद 
बैंक परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रकार इसप्रकार हैं:

एक बेग में 6 लाल, 4 सफ़ेद और 2 काली गेंद हैं|
6R 4W
2B  nCr = n!/r! (n – r)!

दो गेंदों को अज्ञात रूप से निकाला जाता है:

प्रायिकता ज्ञात कीजिये:
1. दोनों गेंद लाल रंग की हैं|
2. दोनों गेंद सफ़ेद रंग की हैं|
3. कम से कम एक गेंद लाल हैं| 
4. कोई भी गेंद सफ़ेद रंग की नहीं हैं|
5. या तो वह दोनों लाल गेंद हैं या दोनों सफ़ेद गेंद हैं|
6. वे एक ही रंग के हैं| 
7. वे एक ही रंग की नहीं है| 
8. 1 गेंद लाल और एक गेंद सफ़ेद रंग की है|  

1. लाल गेंद है – 6 table – 12
तो , 6/12 x 5/11 = 5/22

2. सफ़ेद गेंद है- – 4
4/12 x 3/11 = 1/11

3.सर्वप्रथम:
कोई भी गेंद लाल रंग की नहीं है|
तो, 4w + 2b = 6 ball
तो, 6/12 x 5/11 = 5/22
तो, कम से कम  –
1 – 5/22 = 17/22
और कम से कम = 1 – none

4. जब कोई भी बॉल सफ़ेद नहीं होगी तब 6 +2 = 8 बॉल में से निकलेगी?
8/12 x 7/11 = 14/33

5. अन्य किसी स्थिति के लिए दोनों कि अलग-अलग गेंद निकाल के जोड़ देते हैं|
6/12 x 5/11 + 4/12 x 3/11
5/22 + 1/11
5+2/22 = 7/22

6. 6/12 x 5/11 + 4/12 + 3/11 + 2/12 + 1/11    
5/22 + 1/11 + 1/66
15+6+1/66 = 22/66 = 1/3

7. पहले – एक ही रंग–  22/66
कोई एक नहीं है:1 – 22/66 = 1-1/3 = 2/3

8. सूत्र को लागू करने के केवल यह स्थिति है:
6C1 x 4C1 / 12C2
12C2 = 12 x 11 x 16 / 21 x 101 = 66
= 6 x 4 / 11
= 4/11